Colloquium of the Institute of Mathematics Gleichungen, Kurven und die Chabauty-Kim Methode

Abstract:  Welche ganzen Zahlen liegen genau zwischen einer Quadrat- und einer Kubikzahl? Welche ganzen Zahlen treten als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks auf? Gesucht sind hier jeweils ganzzahlige Lösungen von Polynomgleichungen wie z.B. y² = x³ - 2 oder x² + y² = z². Um diese zu berechnen, lohnt es sich, zunächst die Geometrie der von der Gleichung beschriebenen Kurve zu untersuchen. Dank der Mordell-Vermutung, bewiesen von G. Faltings, können wir an ihr die (Un-)Endlichkeit der Anzahl der Lösungen ablesen. Aber wie findet man die Lösungen? Hier setzt die Chabauty-Kim Methode an, die die p-adische Geometrie der Kurve und ihrer Fundamentalgruppe benutzt, um die Lösungen zu berechnen.
Der Vortrag gibt eine Einführung in die Welt der Chabauty-Kim Methode anhand vieler Beispiele und präsentiert resultierende Schranken an die Anzahl der ganzzahligen Lösungen.