Abteilung Invarianten und Dualität
Die Forschungsthemen dieser Einheit erwachsen aus der Untersuchung kontinuierlicher Strukturen mit geometrischen und algebraischen Methoden, der Verbindung zwischen Darstellungstheorie, komplexer und p-adischer Analysis, sowie den Bedürfnissen und Erkenntnissen der fundamentalen Naturwissenschaft. In der Lehre bieten wir ein entsprechend breites Spektrum an Veranstaltungen von einführenden Vorlesungen bis zu spezialisierten Seminaren an.
Wir sind eingerichtet im 3. und 5. Stock des Mathematikon, und freuen uns über eine Kontaktaufnahme über den Briefumschlag rechts unten.
Forschungsthemen
Die Topologie schafft einen mathematischen Rahmen zur Untersuchung von Räumen und stetigen Abbildungen zwischen Räumen. Dieser Rahmen überspannt große Teile der modernen Mathematik und ist anwendbar auf ein breites Spektrum von räumlichen Phänomenen. In einer weitreichenden Verallgemeinerung der klassischen Modulformen untersucht die Theorie der Automorphen Formen die Verkörperung algebraischer Strukturen wie Gruppenwirkungen durch analytische Objekte und verknüpft dabei verschiedene Bereiche wie Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Geometrie. Die Mathematische Physik entwickelt mathematische Theorien zur Beschreibung elementarer und komplexer physikalischer Phänomene, und sichert physikalische Einsichten durch mathematische Beweise. Die Algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Nullstellenmengen polynomialer Gleichungen als Archetyp global definierter geometrischer Räume.
Die Einheit dieser Vielfalt liegt in der gemeinsamen Perspektive auf die Querverbindungen, die durch den Fokus auf die Berechnung von Invarianten entsteht. In der Topologie sind dies etwa Eigenschaften von Räumen, die invariant unter stetigen Deformationen bleiben, unter Berücksichtigung geometrischer Aspekte wie Distanz, Volumen und Krümmung. In der algebraischen Geometrie interessiert man sich unter anderem für die Charakterisierung von Inzidenzen und der allgemeinen Lage gewisser Klassen von geometrischen Objekte zueinander. Die mathematischen Physik, informiert durch das Pfadintegral der Quantentheorie, und insbesondere die Idee der Dualität, bietet eine operationelle Sicht und macht strukturelle Vorhersage über diese Invarianten. Die verbindende Rolle der automorphen Formen, insbesondere in der Langlands-Korrespondenz, beruht ebenfalls auf Ideen von Dualität, und hat enge Verflechtungen in der Mathematischen Physik und der Algebraischen Geometrie.
Der fruchtbare Austausch zwischen Mathematik und Physik ist das Herzstück des Exzellenzclusters STRUCTURES an der Universität Heidelberg.
Eine detaillierte Beschreibung der Forschungsbereiche finden Sie auf den verlinkten Seiten der Fakultät für Mathematik und Informatik, und weitere Informationen zu aktuellen Projekten und Stellenangeboten im wissenschaftlichen Bereich auf den Seiten der individuellen Arbeitsgruppen.
Lehrveranstaltungen
Neben der Beteiligung an den Grundvorlesungen in Linearer Algebra, Analysis und Höherer Mathematik bietet die Abteilung regelmässig folgende Vorlesungszykel an:
- Differentialtopologie 1+2
- Algebraische Topologie 1+2
- Funktionentheorie
- Modulformen 1+2
- Einführung in die Geometrie
- Algebraische Geometrie 1+2
- Lie-Gruppen und Darstellungstheorie 1+2
- Stringtheorie 1+2
- Komplexe Mannifaltigkeiten
Für aktuelle Informationen, auch zu Seminaren, verweisen wir auf das Vorlesungsverzeichnis „LSF“, das Campus-Management System „heiCO“, Müsli und MaMpf, die Homepage der Fakultät, und die Seiten der Arbeitsgruppen. Für Abschlussarbeiten wenden Sie sich bitte direkt an einen durch die Fakultät autorisierten Betreuer.
Historische Perspektive
Die prestigeträchtige Tradition im Bereich Topologie des mathematischen Instituts der Universität Heidelberg wurde durch Herbert Seifert begründet und durch Albrecht Dold, Dieter Puppe und Matthias Kreck fortgesetzt. Den Namen Seifert verbindet man mit fundamentalen Konzepten wie Seifert-Faserräumen, Seifertflächen in der Knotentheorie und dem Satz von Seifert-van Kampen. Dolds Entdeckungen in der algebraischen Topologie, darunter das Dold-Thom Theorem, die Dold-Kan-Korrespondenz, Dold-Faserungen, Dold-Mannigfaltigkeiten und die allgemeine Theorie von Orientierungsklassen werden heute regelmäßig verwendet. Sein Fixpunktsatz fand Anwendungen in der Ökonomie. Das Werk Puppes prägte die moderne stabile Homotopietheorie, während Krecks Beiträge die Differentialtopologie von 4- und höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten bis hin zu stratifizierten Räumen via seines Konzepts der Stratifolds überspannen.
Heidelbergs Ruf als international wahrgenommener Schwerpunkt auf dem Gebiet der automorphen Formen gründet im langjährigen Wirken von Hans Maaß in der Nachkriegszeit und wurde später von Forschern wie Eberhard Freitag, Michael Rapoport, Winfried Kohnen und Rainer Weissauer weiter befeuert. Den Namen Maaß verbindet man heute zuvorderst mit den nach ihm benannten Wellenformen, die er einführte, um eine Verbindung zwischen der Theorie der Modulformen und der Zahlentheorie herzustellen. Aber auch vor Maaß wurde in Heidelberg schon auf diesem Gebiet geforscht, ein prominentes Beispiel sind die Untersuchungen der für die Theorie der Modulformen bedeutsamen Fuchs'schen Gruppen durch Lazarus Fuchs gegen Ende des 19. Jahrhunderts.