Abteilung Analysis und Mathematische Modellierung
Partielle Differentialgleichungen und gewöhnliche Differentialgleichungen sind die grundlegende Sprache, in der viele Systeme aus Physik, Biologie, Ingenieurwesen und vielen anderen Wissenschaften modelliert werden. Zu den Beispielen gehören Reaktions-Diffusions-Systeme der Musterbildung, kontinuumsmechanische Modelle der Elastizität und Fluiddynamik, Modelle für Elektro- und Magnetostatik und strukturierte Populationsmodelle.
In Heidelberg interessieren wir uns für die Modellierung und Analyse komplexer Systeme mit mehreren Skalen und Parametern, die das Auftreten von nichtlokalen und nichtlinearen Effekten steuern. Insbesondere untersuchen wir eine Reihe von Musterbildungsmechanismen, die sich aus Nichtkonvexität oder Hysterese ergeben. Um diese Probleme anzugehen, verwenden wir Werkzeuge und Ideen aus verschiedenen Bereichen wie asymptotische und singuläre Störungsanalyse, Halbgruppentheorie, Energiemethoden, harmonische und mikrolokale Analyse. Diese mathematischen Techniken werden auch zur Ableitung effektiver Modellgleichungen und zur Untersuchung ihrer Dynamik in Abhängigkeit von Modellvariablen und Parametern eingesetzt.
Zentrale Fragen
Die zentralen Fragen für das Verständnis dieser Systeme sind:
- Ist das Problem wohlgestellt in dem Sinne, dass es eine Lösung in einem wünschenswerten Funktionsraum zulässt? Ist die Lösung eindeutig?
- Was wissen wir über die Eigenschaften der Lösung, wie z. B. ihre Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen und Modellparametern?
- Können wir das effektive Verhalten des Systems in Bezug auf seine Parameter verstehen?
Unsere Forschungsinteressen
In der Forschungsgruppe von H. Knüpfer untersuchen wir Modelle aus der Materialwissenschaft und der Fluiddynamik. Insbesondere interessieren wir uns für die Analyse der Musterbildung in nicht-konvexen Systemen mit nichtlokaler Wechselwirkung wie ferromagnetischen Systemen, Systemen mit langreichweitiger Riesz-Wechselwirkung oder elastischen Materialien. Ein weiteres Interesse gilt freien Randproblemen in der Fluiddynamik. Informationen über die Mitglieder der Gruppe und Einzelheiten zu Forschung und Lehre finden Sie hier.
Die interdisziplinäre Expertise der Forschungsgruppe von A. Marciniak-Czochra liegt in den Bereichen der angewandten Mathematik und der mathematischen Biowissenschaften. Unser Schwerpunkt liegt auf der Dynamik der Selbstorganisation und Strukturbildung bei Entwicklungs- und Regenerationsprozessen sowie bei Krebs. Die in enger Zusammenarbeit mit Experimentalphysikern entwickelten Modelle werden angewandt, um die Entwicklung und die Auswirkungen der zellulären Heterogenität in stammzellbasierten Systemen, die systemische Organisation der Steuerung des Zellschicksals und die Mechanismen der Symmetriebrechung und Musterbildung zu untersuchen. Die mathematischen Schwerpunkte liegen auf partiellen Differentialgleichungen, dynamischen Systemen und Multiskalenanalyse. Die Hauptlinien der analytischen Forschung sind (1) Entstehung und Stabilität der Musterbildung in Reaktions-Diffusions-Gleichungen; (2) Analyse nichtlinearer strukturierter Populationsmodelle; Verknüpfung kontinuierlicher und diskreter Strukturen; (3) Ableitung effektiver Modelle ausgehend von der First-Principle-Modellierung zur Beschreibung von Wachstums- und Transportprozessen. Besonderes Augenmerk wird auf Methoden der Modellvergrößerung und -verkleinerung gelegt.
